In quest’ambito, grazie ad Excel, simuleremo al computer il comportamento di una rete elettrica RC nel dominio del tempo, ovvero esprimeremo, in forma di diagramma cartesiano, la carica di un condensatore.

 

Il problema è, a partire da alcune leggi dell’elettrotecnica, risalire ad un formula iterativa appunto implementabile da Excel.

 

Il semplice circuito elettrico da cui partiremo è di seguito riportato:

Rispettivamente, ed istante per istante, grazie: al 2° principio di Kirchhoff , alla legge di Ohm e alla legge della carica di un condensatore, scriveremo:

E = vr(t) + vc(t)

vr(t) = R*i(t)

i(t) = C*[Δvc(t)/Δt]

 

Di conseguenza sarà:

E = R*i(t) + vc(t)

E = R*C*[Δvc(t)/Δt] + vc(t)

 

E*Δt = R*C*Δvc(t) + vc(t)*Δt

 

E siccome è:

Δvc(t) = vc(t+Δt) – vc(t)

sarà:

E*Δt = R*C*[vc(t+Δt)–vc(t)] + vc(t)*Δt

E*Δt = R*C*vc(t+Δt) – R*C*vc(t) + vc(t)*Δt

E*Δt + R*C*vc(t) - vc(t)*Δt = R*C*vc(t+Δt)

R*C*vc(t+Δt) =  E*Δt + R*C*vc(t) - vc(t)*Δt

vc(t+Δt) =  (E*Δt)/(R*C) + vc(t) - vc(t)*[Δt/(R*C)]

vc(t+Δt) =  (E*Δt)/(R*C) + vc(t)*í1-[Δt/(R*C)]ý

Quest’ultima è la cercata formula iterativa implementabile da Excel, ed infatti abbiamo trovato la relazione matematica che lega il valore corrente della tensione ai capi del condensatore, ovvero vc(t), con il valore successivo della medesima tensione ai capi del condensatore, ovvero vc(t+Δt).

 

Esplicitiamo dunque la suddetta formula iterativa a partire dai successivi tipici valori per: E, R e C, sottolineando che, per ottenere un realistico andamento grafico del diagramma cartesiano della vc(t), occorre che l’incremento Δt sia di almeno 10 volte più piccolo della costante di tempo (R*C):

E = 5volts

R = 1Mohm = (10^6)ohm

C = 10picofarad = (10^-11)farad

Di conseguenza essendo:

R*C = (10^-5)secondi

Δt = (R*C)/10 = (10^-5)/10 = (10^-6)secondi

Δt/(R*C) = (10^-6)/(10^-5) = (10^-1)

(E*Δt)/(R*C) = 5*(10^-1) = 0,5volts

1 – [Δt/(R*C)] = 1 – (10^-1) = 0,9

la:

vc(t+Δt) =  (E*Δt)/(R*C) + vc(t)*í1-[Δt/(R*C)]ý

diventa:

vc(t+Δt) = 0,5 + 0,9*vc(t)

Quest’ultima è la cercata formula iterativa esplicitata a partire dai tre suddetti tipici valori per : E, R e C.

 

Se si prova a far implementare quest’ultima formula da Excel, ed ovviamente mediante l’inserimento nelle sue celle di opporture relazioni, la tabella di valori per vc(t) che si ottiene è la seguente:

e quindi il diagramma cartesiano di vc(t) che Excel stesso è in grado di visualizzare è: